回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

这边先以4皇后来解释解决步骤：

详细说明

在第一行有四种可能，选择第一个位置放上皇后

第二行原本可以有四种可能摆放，但是第一第二个已经和第一行的皇后冲突了，因此只剩下第三第四个格子了，先选择第三个格子

接下来是第三行，根据规则可以看出，第三行已经没有位置放了，因为都跟第一第二行的皇后冲突，此时返回到第二行第四个

继续来到第三行，发现只有第二个满足条件

然后发现第四行已经不能放了，只能继续返回，返回到第一行，开始下一种可能

按照 1-5 的步骤，可以找到下面的其中一种解法

总而言之，回溯法就是开始一路到底，碰到南墙了就返回走另外一条路，有点像穷举法那样走遍所有的路。

PHP代码实现：

1. <?php 
2.    
3. class Backtracking { 
4.    
5.  protected $chessboard;  // 棋盘 二维数组 表示坐标轴 
6.  protected $N;      // N表示几皇后 
7.  protected $has_set_x;  // 已经设置的x坐标数组 已经设置的x坐标就不能重复了，用于检查坐标是否可用 
8.  protected $has_set_y;  // 已经设置的y坐标数组 已经设置的y坐标就不能重复了，用于检查坐标是否可用 
9.  protected $has_set_site; // 已经设置的点 
10.    
11.  function __construct($N) { 
12.  // 初始化数据 
13.  $this->N = $N; 
14.  $this->chessboard = array(); 
15.  for ($i=0; $i < $N; $i++) {  
16.   for ($j=0; $j < $N; $j++) {  
17.   $this->chessboard[$i][$j] = 0; 
18.   } 
19.  } 
20.  $this->has_set_x = array(); 
21.  $this->has_set_y = array(); 
22.  $this->has_set_site = array(); 
23.  } 
24.    
25.  // 获取排列 
26.  public function getPermutation($is_get_on = true) { // is_get_on 是否获取一种排列 true:是 false:获取所有排列 
27.  $current_n = 0; // 当前设置第几个皇后 
28.  $start_x = 0;  // 当前的x坐标 从x开始放置尝试 
29.  $permutation_array = array(); // 全部皇后放置成功的排列数组 
30.  while ($current_n < $this->N && $current_n >= 0) { 
31.   $site_result = $this->setQueenSite($current_n, $start_x); // 设置皇后位置 
32.   if($site_result == true && $current_n + 1 >= $this->N) { // 如果最后的皇后位置放置成功则记录信息 
33.   $permutation_array[] = array_merge($this->has_set_site, array(array('x' => $site_result['x'], 'y' => $site_result['y']))); 
34.   if($is_get_on == false) { // 如果是获取所有排列，则设置当前放置失败，让程序回溯继续找到其他排列 
35.    $site_result = false; 
36.   } 
37.   } 
38.   if($site_result == true) { 
39.   $this->chessboard[$site_result['x']][$site_result['y']] = 1; 
40.   $this->has_set_x[] = $site_result['x']; 
41.   $this->has_set_y[] = $site_result['y']; 
42.   $this->has_set_site[] = array('x' => $site_result['x'], 'y' => $site_result['y']); 
43.   $current_n++; // 皇后位置放置成功，继续设置下一个皇后，重置下一个皇后的x坐标从0开始 
44.   $start_x = 0; 
45.   }else { 
46.   // 当前皇后找不到放置的位置，则需要回溯到上一步 
47.   $previous_site = array_pop($this->has_set_site); // 找到上一步皇后的位置 
48.   if(!emptyempty($previous_site)) { 
49.    $start_x = $previous_site['x'] + 1; // 让上一步的皇后的x坐标+1继续尝试放置 
50.    $this->deleteArrayValue($this->has_set_x, $previous_site['x']); 
51.    $this->deleteArrayValue($this->has_set_y, $previous_site['y']); 
52.    $this->chessboard[$previous_site['x']][$previous_site['y']] = 0; 
53.   } 
54.   $current_n--; // 回溯到上一步，即让一个皇后x坐标+1继续尝试放置 
55.   } 
56.  } 
57.  return $permutation_array; 
58.  } 
59.    
60.  // 设置皇后位置 
61.  public function setQueenSite($n, $start_x) { 
62.  $start_y = $n; 
63.  if($start_x >= $this->N) return false; 
64.  $check_result = $this->checkQueenSite($start_x, $start_y); // 检查当前是否可放置 
65.  if($check_result == true) { 
66.   return array('x' => $start_x, 'y' => $start_y); 
67.  }else { // 不可放置，则x坐标+1，继续尝试 
68.   $start_x++; 
69.   return $this->setQueenSite($n, $start_x); 
70.  } 
71.  } 
72.    
73.  // 检查皇后位置是否正确 
74.  public function checkQueenSite($x, $y) { 
75.  // 判断当前坐标的横、纵、斜线是否存在已经放置的皇后 
76.  if(in_array($x, $this->has_set_x)) return false; 
77.  if(in_array($y, $this->has_set_y)) return false; 
78.  $operate_array = array( 
79.   array('operate_x' => '+', 'operate_y' => '+'), 
80.   array('operate_x' => '-', 'operate_y' => '-'), 
81.   array('operate_x' => '+', 'operate_y' => '-'), 
82.   array('operate_x' => '-', 'operate_y' => '+') 
83.  ); 
84.  foreach ($operate_array as $key => $value) { 
85.   $diagonal_x = $x; 
86.   $diagonal_y = $y; 
87.   while (true) { 
88.   eval("\$diagonal_x=$diagonal_x {$value['operate_x']} 1;"); 
89.   eval("\$diagonal_y=$diagonal_y {$value['operate_y']} 1;"); 
90.   if($diagonal_x >= $this->N || $diagonal_y >= $this->N || $diagonal_x < 0 || $diagonal_y < 0) break; 
91.   if($this->chessboard[$diagonal_x][$diagonal_y] == 1) return false; 
92.   } 
93.  } 
94.  return true; 
95.  } 
96.    
97.  // 删除数组元素 
98.  public function deleteArrayValue(&$array, $value) { 
99.  $delete_key = array_search($value, $array); 
100.  array_splice($array, $delete_key, 1); 
101.  } 
102.    
103. } 
104.    
105. $N = 8; // 8表示获取8皇后的排列组合 
106. $backtracking = new Backtracking($N); 
107. $permutations = $backtracking->getPermutation(false); 
108. var_dump($permutations); // 输出92种排列

Tags: PHP八皇后算法

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